DGGS/Proj/Planos concorrentes

Dois planos infinitos que se cruzam, necessariamente formando uma reta.

Três peças planas de plástico conectadas por dobradiças. Mais peças retangulares poderiam ser conectadas formando uma sanfona.

Exemplo de Kirigami, onde algumas regras do "jogo das dobradiças" são utilizadas. Peças triangulares permitem um número maior de conexões.

A metodologia DNGS propõe o uso de projeções nacionais e/ou continentais para contornar o problema da projeção DGGS, que enfrenta a impossibilidade matemática de garantir uma boa aproximação de altitude (e portanto valor absoluto de área) em todos os países.

A seguir iniciaremos por apresentar o "jogo dos planos conectados por dobradiças", que ajuda a explicar mais didaticamente uma série de questões matemáticas:

• Porque as projeções azimutais (plano tangente a um ponto na esfera) podem ser conectadas em poliedros regulares.
  E apenas algumas outras poucas combinações de projeção igual-area são possíveis no padrão DGGS.
• Porque apenas poliedros regulares ajustados sobre o globo permitem a projeção igual-area de um DGGS.
• Porque o padrão UTM, que dividiu o globo em 60 projeções de 6 graus (zonas UTM), não permite a concatenação entre zonas.
• A melhor solução para uma projeção Nacional, ou ajuste das projeções à superfície da nação.
• Os planos podem ser ajustados por correção linear em torno de um plano principal ajustado à altitude mediana das zonas povoadas (inclinação leve depois de projetados).
• Ideal é que as células (e seu formato no nível L0) se atenham à região da projeção, portanto células quadradas requerem quebra em planos quadrados, células triangulares em planos triangulares, etc.
  PS: eventualmente pode-se transformar por exemplo pares de triângulos em quadriláteros, mas isso onera o processo.

Características

Na Geometria clássica, que aprendemos na escola, os planos são infinitos, e se não são paralelos, serão concorrentes. Algebricamente dizemos que dois planos concorrentes, alpha e beta, possuem interseção na reta r. Planos finitos são conjuntos, suponhamos as porções A e B de alpha e beta respectivamente...

Conectando A e B através de uma dobradiça, podemos imaginar pequenos movimentos de giro em torno da reta r. A dobradiça requer no mínimo 2 pontos sobre cada plano, para garantir que a peça não gire em torno do parafuso de fixação.

Estas são as "regras do jogo" para se conectar mais peças planas, mantendo a mobilidade, sem travar a dobradiça:

1. As peças são planas
2. Duas peças podem ser conectadas perfeitamente através de um segmento de reta.
3. A conexão por dobradiça requer no mínimo 2 pontos de cada lado da dobradiça.
4. Uma nova peça só pode ser encaixada através de uma só dobradiça, cruzando com a peça a que foi conectada, sem interferir nas demais.

Projeções globais

As projeções DGGS requerem a conexão entre faces: cada face precisa ter uma dobra com sua adjacente.

... Explicar aqui como ficam as dobras em montagens que cobrem o globo ... E se adicionamos a restrição de igual-área, resta apenas o poliedro regular.

O tetraedro é um sólido perfeito, com áreas iguais, enquanto o prisma, mesmo sendo ajustado a áreas iguais, não vai garantir a cobertura por "ladrilhos iguais". Abaixo o poliedro de 120 faces da projeção DGGS/Proj/DT, Disdyakis Triacontahedron:

Cada uma das 120 faces corresponde a um plano de projeção do tipo "Slice and Dice projection" (van Leeuwen and Strebe). Em seguida 4 a 4 faces são reunidas resultando em um Triacontaedro rômbico de 120/4=30 faces quadriláteras, usadas como L0 de um GGeohash.

PS: em estudo estratégias complementares, usando Proposta da re-projeção linear com mudança de raio de elipsoide (ajuste ao país) ou (mais apropriado) mudança da secante... Isso permite alguma compatibilidade entre os dois, DGGS e DNGS, quando ambos usam mesmos polígonos de projeção: pontos e angulos sólidos são preservados.

Entre cônicas ou cilíndricas não há como incluir dobradiça

As projeções cônicas e cilíndricas, bastante populares, não podem se conectar entre si porque exigem interseções por retas incompatíveis: ...

Por isso a única projeção válida para conectar faces planas é a azimutal (tangente a um só ponto - não uma linha inteira de tangência).

PS: a solução HELPix de uma cilíndrica e várias gnômicas resolve por lidar com a simetria da esfera e a "dobradiça reta-ponto".

Proposta da re-projeção linear em planos concorrentes

O principal objetivo da re-projeção é o ajuste às altitudes medianas do território nacional, garantindo maior precisão de área e altitude.

Ver problema da projeção customizada em https://gis.stackexchange.com/q/469283/7505

Experimentos com o Brasil

Grandes planaltos e planícies brasileiras.

O Brasil é um país de altitudes modestas: cerca de 40% do seu território encontra-se abaixo de 200 m de altitude, 45% entre 200 e 600 m, e 12%, entre 600 e 900 m. Pode-se ainda dar maior peso às altitudes de locais mais povoados (tipicamente capitais), garantindo-se ajuste de altitude onde haveria máximo usufruto da precisão de área.

Experimentando diferentes recortes do Brasil, por exemplo um partindo do retângulo central, outro partindo de um hexágono. As junções são indicadas por dobradiças.

O mais eficiente talvez seja quebrar em triângulos que cubram os grandes planaltos e planícies, mas ainda assim estaria longe de ser um "ajuste satisfatório" para o relevo brasileiro. Como, felizmente, as diferenças entre média de altitude das formações são da ordem de meio a 1 km, as diferenças são toleráveis.

Provavelmente um grande plano médio pode ser tão bom quanto um conjunto de ajustes mal aproximados ao relevo. A Projeção Cônica de Albers provavelmente ainda será bem melhor do que "sub-ajustes de uma projeção DGGS". Abaixo o caso de um DGGS especial, DT com 120 lados, que permitiria talvez algum ajuste local do Brasil.