DGGS/Proj/Planos concorrentes
A seguir uma explicação didática do "jogo dos planos conectados por dobradiças", que ajuda a explicar:
- Porque apenas projeções gnômicas (plano tangente a um ponto na esfera) podem ser conectadas.
- Porque apenas poliedros regulares ajustados sobre o globo permitem a projeção igual-area de um DGGS.
- Porque o [wikipedia:Universal_Transverse_Mercator_coordinate_system|padrão UTM], que dividiu o globo em 60 projeções de 6 graus (zonas UTM), não permite a concatenação entre zonas.
- A melhor solução para uma projeção Nacional, ou ajuste das projeções à superfície da nação.
Na Geometria clássica, que aprendemos na escola, os planos são infinitos, e se não são paralelos, serão concorrentes. Algebricamente dizemos que dois planos concorrentes, alpha e beta, possuem interseção na reta r. Planos finitos são conjuntos, suponhamos as porções A e B de alpha e beta respectivamente...
Conectando A e B através de uma dobradiça, podemos imaginar pequenos movimentos de giro em torno da reta r. A dobradiça requer no mínimo 2 pontos sobre cada plano, para garantir que a peça não gire em torno do parafuso de fixação.
Estas são as "regras do jogo" para se conectar mais peças planas, mantendo a mobilidade, sem travar a dobradiça:
- As peças são planas
- Duas peças podem ser conectadas perfeitamente através de um segmento de reta.
- A conexão por dobradiça requer no mínimo 2 pontos de cada lado da dobradiça.
- Uma nova peça só pode ser encaixada através de uma só dobradiça, cruzando com a peça a que foi conectada, sem interferir nas demais.
Projeções globais
... Explicar aqui como ficam as dobras em montagens que cobrem o globo ... E se adicionamos a restrição de igual-área, resta apenas o poliedro regular.
O tetraedro é um sólido perfeito, com áreas iguais, enquanto o prisma, mesmo sendo ajustado a áreas iguais, não vai garantir a cobertura por "ladrilhos iguais".
Entre cônicas ou cilíndricas não há como incluir dobradiça
As projeções cônicas e cilíndricas, bastante populares, não podem se conectar entre si porque exigem interseções por retas incompatíveis: ...
Por isso a única projeção válida para conectar faces planas é a gnômica (tangente a um só ponto - não uma linha inteira de tangência).
PS: a solução HELPix de uma cilíndrica e várias gnômicas resolve por lidar com a simetria da esfera e a "dobradiça reta-ponto".
Experimentos com o Brasil
Experimentando diferentes recortes do Brasil, por exemplo um partindo do retângulo central, outro partindo de um hexágono. As junções são indicadas por dobradiças.
O mais eficiente seja quebrar em triângulos que cubram os grandes planaltos e planícies, mas ainda assim estaria longe de ser um "ajuste satisfatório" para o relevo brasileiro. Como, felizmente, as diferenças entre média de altitude das formações são da ordem de meio a 1 km, as diferenças são toleráveis.
Provavelmente um grande plano médio pode ser tão bom quanto um conjunto de ajustes mal aproximados ao relevo. A Projeção Cônica de Albers provavelmente ainda será bem melhor do que "sub-ajustes de uma projeção DGGS".