Aproximação por reta ou plano

É conhecido dos matemáticos o fato de que qualquer curva contínua pode ser aproximada por uma reta nas vizinhanças de um ponto:

É também denominada "aproximação de primeiro grau em uma expanção em série de Taylor".

Descrevendo a ilustração: a tentativa de aproximar, em torno de um ponto P, a linha curva (preta) por uma reta tangente (azul). Conforme aumentamos o zoom em torno de P, a aproximação vai ficando melhor, e não importa qual a forma original da curva. Conclusão:

Um "ajuste de escopo local", portanto, será sempre melhor do que o "ajuste de escopo mais amplo".

Plano quase tangente mostrando que a calota é quase plana, e tenderia ao plano, quanto menor o raio do circulo secante.

Por "ajuste mais amplo" podemos entender "em torno de mais outros da curva, pontos próximos de P".

A curva e a reta são unidimensionais (1D), mas efeito análogo ocorre em 2D: uma superfície curva, como a Terra, pode ter a pequena região em torno de um ponto P aproximada para um plano, conforme ilustração.

Se formos olhando de perto planos secantes cada vez mais próximos do plano tangente em P, a área da calota vai diminuindo e a superfície da Terra, em torno de P, cada vez mais parecida com o plano.

Medidas de distorção

A Matemática e a intuição garantem que

é impossível uma aproximação de escopo amplo ser melhor que a aproximação de escopo local.
No melhor dos casos ambas terão a mesma qualidade.

Mas "mesma qualidade" é subjetivo enquanto não formos capazes de quantificar, medir a diferença. A ilustração abaixo mostra o problema da distorção