DGGS/Cell

O principal componente do DGGS é a célula, com seu ID. Como o esquema DGGS prevê subdivisões recursivas da célula, podemos dizer que a célula dá origem à grade.

Exigência de grade regular

O padrão DGGS obriga que a forma das células não varie. Na Matemática a grade (tesselation) é um conjunto com ladrilhos (tiles), e se vai usar um tipo só de ladrilho, denomina-se a grade de regular. Já há séculos é conhecido pelos matemáticos o fato de não existirem muitas opções para se construir uma grade regular, são apenas três formatos de ladrilho:

Forma	Vizinhanças	Subdivisão para subpavimentação	Conclusão
Triangular 3 lados	9 vizinhas (3 por aresta)	4 partes exatas	👎 Pior caso de vizinhança (muitas e com apenas 25% por aresta), mas 👍 pelo menos permite a subdivisão.
Quadrilátero 4 lados	8 vizinhas (4 por aresta)	4 partes exatas (ou 2 retangulares)	👍 Caso razoável de vizinhança (poucas e com 50% por aresta), 👍 subdivisão válida e flexível.
Hexagonal 6 lados	6 vizinhas por aresta	(impossível)	👍 Melhor caso de vizinhança (100% aresta), mas 👎 impedimento no requisito da subdivisão.

Considerações:

• Forma: é genérica. Triângulos não precisam ser equiláteros; quadriláteros podem ser losangos, paralelogramas ou retângulos.
• Adjacência: por aresta é preferível à adjacência por vértice. A adjacência refere-se não só à fronteira comum, mas também ao conjunto mais próximo de ladrilhos num raio partindo do centroide.
• Subdivisões: indicando apenas o caso de menor número, que proporcina mais niveis hierárquicos

A adjacência entre células é um importante critério na escolha de grades. Em aplicações que demandam apenas células de um só tamanho (mono-nível), tais como visualização e cálculos, principalmente em aplicações logísticas, o hexágono se sai melhor. Ele tem o menor número total de vizinhaças e todas elas por aresta (vizinhança isotrópica). Ver Uber H3. Os algoritmos hexagonais são ainda novos e um pouco mais complexos, apesar da boa performance.

Grades quadriláteras e triangulares exibem adjacência não-uniforme porque têm vizinhos de aresta e vértice (Sahr et al. 2003). As grades quadriláteras ainda assim são razoáveis, por apresentarem quantidade menor de adjacências (8 contra 12 do triângulo), com proporção maior de adjacências-por-aresta (50% contra 25% do triângulo). Todos os algoritmos conhecidos (inclusive mais complexos como FFT foram primeiramente lançados em grades quadriláteras, de modo que elas possuem amplas bibliotecas e boa performance.

Representação de um polígino (linha preta e área hachurada) por sua subpavimentação, ou seja, através de elementos de um mosaico de retângulos previamente fixado. Em vermelho a subpavimentação interior, sobrepondo a subpavimentação com borda em amarelo.

Por fim, quando se fala de multifinalidade de uma grade, principalmente em aplicações cadatrais para o governo e dados públicos, é importante a capacidade de "subdivisão para subpavimentação", onde falha a grade hexagonal.

Coberturas não-hexagonais

Ladrilhos de qualquer formato e um só tamanho podem cobrir uma zona qualquer, mas uma subpavimentação requer diversos tamanhos, ou seja, ladrilhos de mais de uma grade dentro da mesma cobertura. Apenas ladrilhos triangulares e quadriláteros conseguem subpavimentar.

A impossibilidade de uso do hexágono para fins de subpavimentação foi demonstrada matematicamente e de forma simples por R. Israeal:

"Em um hexágono regular, todos os ângulos medem 120 graus. Se você tiver dois hexágonos regulares de tamanhos diferentes compartilhando parte de um lado, você cria um ângulo de 180−120=60 graus. Não há como subpavimentar esse setor de 60 graus com um número finito de hexágonos regulares."

O melhor que se consegue com a subpavimentação hexagonal é a estratégia do Uber H3, de preencher aproximadamente a célula-mãe com 7 células-filhas. O problema dos hexágonos H3 é ilustrado abaixo como subpavimentação errada, e comparado com uma subpavimentação correta:

Falha que torna inválida a cobertura multi-nível hexagonal. Em destaque as falhas que surgem entre os dois níveis de hexágonos maiores, com lacunas (amarelo) e sobrepoições (vermelho).

• INVÁLIDA: o mapa à esquerda (Califórnia) estava coberto por hexágonos de quatro tamanhos diferentes e os hexágonos se sobrepunham.

• VÁLIDA: mapa à direita (Flórida) estava coberto por formas quadriláteras (losangos) de quatro tamanhos diferentes, sem furos e sem sobreposições. Abaixo está um detalhe na Califórnia, destacando os buracos (amarelo) e as sobreposições (vermelho) entre as células maiores.

Ver também

• DNGS/Geocódigo
• Subpavimentação
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