Código Natural: mudanças entre as edições
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[[Arquivo:BitString-infiniteTape.png.png|miniaturadaimagem| | [[Arquivo:BitString-infiniteTape.png.png|miniaturadaimagem|Todo código natural pode ser expresso univocamente através de uma ''cadeia de bits''.]] | ||
O conjunto dos Códigos Naturais foi definido em analogia ao [[wikipedia:natural number|conjunto dos '''números naturais''']] (ℕ). O conjunto dos Códigos Naturais é munido de regras e operações, tais como ordenação, regras de notação posicional e regras de estruturação hierárquica. Cada um de seus elementos pode ser designado '''código natural''' e expresso através de uma [[cadeia de bits]]. | |||
O [[wikipedia:natural number|conjunto dos '''números naturais''']] ( | Números naturais também podem ser mapeados em cadeias de bits, mas esse mapeamento não abrange todas as cadeias possíveis. O código natural <code>0010</code> por exemplo é distinto do código <code>10</code>, de modo que existem mais códigos naturais do que números naturais: o conjunto ℕ mapeado em cadeias de bits forma um subconjunto dos códigos naturais. | ||
: '''Formalização e licença''': em {{xref|KraEtAll2019}}, registrado como [[CC0]]. | |||
: '''Implementação''' das operações em [https://git.osm.codes/NaturalCodes git.osm.codes/NaturalCodes]. | |||
: '''Aplicações''': [[geocódigos]], [[wikipedia:Database index|indexadores]], identificadores hierárquicos (de [[wikipedia:Statistical classification|classes estáveis]]), [[wikipedia:Graph labeling|rotuladores]], [[wikipedia:Hash function|''hashes'']]<!-- , descritores de [[wikipedia:Quantum state|estados quânticos]] (quando incluso indefinido)--> etc. Existe uma infinidade de aplicações onde as cadeias de bits são mais convenientemente interpretadas como códigos naturais, do que como números naturais. | |||
== Resumo didático == | |||
Um '''código''' qualquer é representado internamente, no computador, por uma [[cadeia de bits]]; que por sua vez é meramente uma sequência de símbolos dentro do computador (tipicamente zeros e uns). <!-- E cadeias de bits podem estar representando qualquer coisa, como um texto (código alfanumérico) ou um [[wikipedia:natural number|número natural]] (código numérico).--> O conceito de ''código'' é mais abrangente e não deve ser confundido com o conceito de ''número'': aplicamos apenas aos números a regra de "eliminar zeros à esquerda". Se digo que 007 é um número usual, então será o mesmo que 7; mas se digo que é um código, devo considerar <code>007</code> e <code>7</code> como entidades distintas. | |||
A cadeia de bit é um [[wikipedia:Primitive data type|tipo de dado primitivo]], bem simples, possui poucas operações e poucos métodos de conversão. Podemos conceber um tipo de dado derivado um pouco mais sofisticado, com operações adicionais, tais como soma e sucessão, e com métodos de conversão, tais como conversão para notação posicional. | |||
Números, por exemplo, são tipos primitivos bem mais sofisticados, com muito mais recursos computacionais e interoperabilidade com outros tipos de dados. O [[wikipedia:natural number|conjunto dos '''números naturais''']] (<math>\mathbb{N}</math>) é munido das operações de soma, multiplicação e de regras de [[wikipedia:Positional notation|notação posicional]] (decimal, binária, hexadecimal, etc.). Similarmente, o '''conjunto dos Códigos Naturais''' foi definido em {{xref|KraEtAll2019}} através da formalização das operações de ordenação, soma, subtração, regras de notação posicional e regras de estruturação hierárquica. | |||
=== Histórico === | |||
O Instituto AddressForAll propôs em 2019 uma nova notação para os códigos naturais, similar à notação hexadecimal, garantindo que a hierarquia entre códigos seja preservada, tal como na cadeia de bits; batizando-a mais tarde de base16h. <!--Tecnicamente é uma [[wikipedia:Positional notation|notação posicional]]: traduz cadeias de dígitos-base2 (''cadeias de bits'') em cadeias de dígitos-base16h, tendo os números como subconjunto (de ambos os lados da tradução). A base16h preserva a hierarquia e é compatível com a representação numérica hexadecimal comum.--> | |||
O documento {{xref|KraEtAll2019}} foi registrado na [https://antigo.bn.gov.br/sobre-bn/deposito-legal Fundação Biblioteca Nacional] sob o protocolo número '''<code>2801/19</code>''', garantindo que nenhuma patente ou direito autoral possam ser reclamados quanto à notação criada (base4h, base8h e base16h). | |||
<!-- | |||
Quando os elementos de um conjunto aninhado são rotulados com números naturais, a estrutura hierárquica não é preservada; mas quando os rótulos numéricos são substituídos por cadeias de bits de comprimento variável, distinguindo zeros iniciais (00 e 0 como entidades distintas), é possível expressar rótulos com sintaxe hierárquica, preservando a estrutura aninhada original e hexadecimais clássicos como subconjunto. | |||
Apresentamos uma definição formal desse tipo de sistema de rotulagem numérica, chamando-o de Códigos Naturais. Também mostramos que ela pode ser transformada em codificações legíveis por humanos (notações posicionais como base4, base8 ou base16), as extensões de notação base base4h, base8h e base16h para representação hierárquica. O modelo de referência adotado é o conjunto finito de Cantor com grau hierárquico k — a rigor, o conjunto Ck é a “árvore hierárquica do conjunto de Cantor”, que é isomorfo a uma árvore binária completa —, propondo um processo de rotulagem simples, mapeando elementos de Ck em elementos dos Códigos Naturais. | |||
A proposta das extensões de notação de base introduz um complemento à sintaxe de base ordinária, onde o último dígito pode utilizar, quando necessário, um alfabeto complementar para representar valores parciais (com um bit a menos que os dígitos ordinários). A representação hierárquica é um superconjunto, diferenciando-se da notação de base comum por este último dígito, que é um membro não hierárquico da representação (denominado nhDigit). Também oferecemos algoritmos para implementar a conversão das extensões de base e discutimos otimizações. | |||
--> | |||
== Apresentação formal == | == Apresentação formal == | ||
[[Arquivo:KraEtAll2019-fig09-Xn.png|thumb|340px|Os três primeiros conjuntos <math>X_{k}</math> da hierarquia dos códigos naturais: <math>X_{1}, X_{2} \text{ e } X_{3}</math>.<br/>Na ilustração ressaltamos a equivalência entre a [[wikipedia:Binary tree|árvore binária completa]] e o [[wikipedia:Cantor set|Conjunto de Cantor]].]] | |||
Sintaticamente, códigos e números podem usar os mesmos símbolos como dígitos, e, por existirem mais possibilidades de combinar símbolos na forma de códigos do que na forma de números, podemos afirmar que o conjunto dos símbolos que representam elementos de <math>\mathbb{N}</math> é subconjunto dos códigos naturais. Para tirar proveito dessa relação sintática, denominaremos '''<math>P_k</math>''' o conjunto dos números naturais (de ''k'' bits) convertidos para '''cadeias de bits de tamanho fixo ''k'''''. | |||
O '''conjunto dos códigos naturais''', <math>X_{\infty}</math>, pode ser induzido do conjunto <math>X_k</math>, relativo a [[cadeia de bits#Cadeias de tamanho fixo|cadeias]] de no máximo ''k'' bits, gerado pela seguinte recorrência: | |||
:<math> | |||
X_{k} = | |||
& | \begin{cases} | ||
P_k \cup X_{k-1}, & \text{if } k>0 \\ | |||
\empty, & \text{if}~k=0 | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
onde <math>P_1 = \{0, 1\}</math> e nos demais <math>P_k</math> os elementos são representações binárias de tamanho fixo ''k'' dos valores <math>0</math> até <math>2^k-1</math>. | |||
Por exemplo, para ''k''=0 até ''k''=8 temos os seguintes conjuntos <math>X_k</math>: | |||
:<math> | |||
\begin{align} | |||
X_0 &= \empty;\\ | |||
X_1 &= P_1 = \{0, 1\};\\ | |||
X_2 &= P_2 \cup X_1 = \{00, 01, 10, 11\} \cup \{0, 1\} = \{0, 00, 01, 1, 10, 11\};\\ | |||
X_3 &= P_3 \cup X_2 = \{000, 001, 010, \cdots, 111\} \cup \{0, 00, 01, 1, 10, 11\} \\ | |||
&= \{0, 00, 000, 001, 01, 010, 011, 1, \cdots, 111\};\\ | |||
\vdots \\ | |||
X_8 &= P_8 \cup X_7 = \{0, 00, 000, 0000, \cdots, 11111110, 11111111\}. | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
Por indução podemos supor também o "conjunto dos números naturais de 0 bits", que corresponde ao conjunto vazio, <math>P_0=\empty</math>. Sintaticamente, a cadeia de bits vazia, necessária em diversas situações. | |||
O número total de elementos em ''X''<sub>k</sub>, ou seja, <math>|X_k|</math>, pode ser inferido por <math>|P_k|=2^k</math>. Usando a recorrência temos <math>|X_k|=2^k+|X_{k-1}|</math>, que contém a [https://math.stackexchange.com/a/1990146/70274 conhecida série das potências de 2] sem o último termo de 2<sup>0</sup>, <math>|X_k|=2^k+2^{k-1}+\dots + 2^1</math>, resultando em <math>|X_k|=2^{k+1}-2</math>. | |||
=== Definição alternativa === | === Definição alternativa === | ||
O | O conjunto dos códigos naturais pode ser também expresso exclusivamente através de números naturais. Podemos usar os pares numéricos tamanho-valor, com o tamanho ''l'' variando de zero a ''k'' bits, e valores ''n'' variando de zero ao máximo permitido pelos ''k'' bits: | ||
:<math>X_k = \{ x=(l,n) \mid {l,n} \in \mathbb{N} \land minBL(n) \le l \le k \}</math> | |||
:<math> | |||
minBL(n) = | |||
\begin{cases} | |||
\left \lceil log_{2}(n) + 1 \right \rceil, & \text{if }n>0 \\ | |||
1, & \text{if }n=0 | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
Os pares descrevem com exatidão e podem ser traduzidos para cadeias de bits (''bitStrings''). Ilustrando o uso dos '''pares (''l'',''n'')''', também designados "size-value pairs", em notação decimal: | |||
:{| class="wikitable" | |||
!BitString !!(size,value) !! !!BitString !!(size,value) | |||
|- | |||
|<code>0</code> || (1,0) || || <code>000000</code>||(6,0) | |||
|- | |||
|<code>111</code> || (3,7) || || <code>00000101</code>|| (8,5) | |||
|} | |||
=== Problemas típicos com códigos === | |||
Números binários são representações válidas da [[wikipedia:positional notation|notação posicional]] base2, e podem ser representados de forma mais compacta (mais amigável para o ser humano) através de bases maiores, tais como base8 (sistema octal) ou base10 (sistema decimal). Códigos, todavia, '''não possuem um sistema posicional adequado''', não existe um padrão para se representar todos os códigos naturais, nem sequer na base4. | |||
Outro problema é a '''ordem''': códigos naturais, '''para exibirem a ordem hierárquica''', precisam ser ordenados lexicograficamente (ao invés de numericamente). Em <math>X_{2}</math> por exemplo iniciamos pelo 0, depois 00, depois 01, depois 1, etc. <!-- A ordem numérica por nível seria 0, 1, 00, 01, etc.--> | |||
A noção de ''código natural'' nos ajuda estudar esses problemas, e valorizar as eventuais soluções. A tabela abaixo, listando códigos em sua ordem natural (lexicográfica da expressão ''bitString''), ilustra problemas da Base4 e a solução Base4h, bem como a solução ''hbit''. | |||
:{| class="wikitable" | |||
!(size,value) !!BitString !! Base4 !! Base4h !! hbitBitstring !! hbit | |||
|- | |||
| (1,0)|| <code>0</code> || '''?''' || G || <small><code>10</code></small> || 2 | |||
|- | |||
| (2,0) || <code>00</code> || 0 || 0 || <small><code>100</code></small> || 4 | |||
|- | |||
| (3,0) || <code>000</code> || '''?''' || 0G || <small><code>1000</code></small> || 8 | |||
|- | |||
| (4,0) || <code>0000</code> || 00 || 00 || <small><code>10000</code></small> || 16 | |||
|- | |||
| (5,0) || <code>00000</code> || '''?'''|| 00G || <small><code>100000</code></small> || 32 | |||
|- | |||
| (6,0) || <code>000000</code> || 000 || 000 || <small><code>1000000</code></small> || 64 | |||
|- | |||
| (7,0) || <code>0000000</code> || '''?'''|| 000G || <small><code>10000000</code></small> || 128 | |||
|- | |||
| (8,0) || <code>00000000</code> || 0000 || 0000 || <small><code>100000000</code></small> || 256 | |||
|- | |||
| (8,1) || <code>00000001</code> || 0001 || 0001 || <small><code>100000001</code></small> || 257 | |||
|- | |||
| (7,1) || <code>0000001</code> || '''?'''|| 000Q || <small><code>10000001</code></small> || 129 | |||
|- | |||
| (8,2) || <code>00000010</code> || 0002 || 0002 || <small><code>100000010</code></small> || 258 | |||
|- | |||
| (8,3) || <code>00000011</code> || 0003 || 0003 || <small><code>100000011</code></small> || 259 | |||
|- | |||
| (6,1) || <code>000001</code> || 001 || 001 || <small><code>1000001</code></small> || 65 | |||
|- | |||
| (7,2) || <code>0000010</code> || '''?'''|| 001G || <small><code>10000010</code></small> || 130 | |||
|- | |||
| (8,4) || <code>00000100</code> || 0010 || 0010 || <small><code>100000100</code></small> || 260 | |||
|- | |||
| (8,5) || <code>00000101</code> || 0011 || 0011 || <small><code>100000101</code></small> || 261 | |||
|- | |||
| ... || ... || ... || ... || ... || ... | |||
|} | |||
A coluna "''hbitBitstring''" é relativa à representação das ''bitStrings'' em formato "hidden bit", definido em {{xref|KraEtAll2019}}. Consiste em acrescentar o <code>1</code> na frente da ''bitString'', para que não lhe cortem os zeros à esquerda, ao interpretá-la como número inteiro positivo (em formato decimal na coluna ''hbit''). | |||
A coluna "Base4" é a tentativa ('''frustrada''') de representar as ''bitStrings'' com o algoritmo da [[wikipedia:Quaternary numeral system|notação posicional numérica da ''Base 4'']]. '''A coluna "Base4h" é a inovação''' proposta em {{xref|KraEtAll2019}}, que adaptou o algoritmo para expressar códigos ao invés de números, permitindo zeros a esquerda e quantidade variável de dígitos. | |||
:<small>Nota. Conjuntos finitos de códigos naturais sempre podem ser expressos como conjuntos de ''hbits'', portanto através de números naturais. O conjunto de todos os Códigos Naturais todavia é infinito, e neste caso particular (com infinitos elementos), a representação ''hbit'' não é permitida pelo [[wikipedia:Cantor's theorem|Teorema de Cantor]]. Portanto, matematicamente, ''size-value'' é um tradutor mais rigoroso para expressões em <math>\mathbb{N}</math>.</small> | |||
==== Tamanho do problema ==== | |||
Quantos códigos naturais de ''k'' bits deixam de ser representados na Base ''N''? | |||
Avaliando a seguir apenas bases com ''N'' em {4, 8, 16, 32} da [https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc4648 RFC 4648] das aplicações da Internet e (base 4) das aplicações em [[geocódigos]]. São todas na forma <math>N=2^n</math>, com ''n'' variando de 2 (4=2<sup>2</sup>) a 5 (32=2<sup>5</sup>). O valor de ''n'' fornece também o número de bits por dígito da base, por exemplo base ''N''=8 temos ''n''=3, portanto cada dígito da base 8 tem 3 bits. | |||
Na tabela abaixo foram avaliadas experimentalmente as taxas de ocupação para diversos valores de ''k'', resultando em uma quantidade de códigos, <math>n\_codes=2^{k+1}-2</math>, e nas quantidades de representações válidas a cada base. | |||
{| class="wikitable" | |||
| | |||
| | |||
| colspan="8" rowspan="1" | '''Base and occupancy rate of n_codes''' | |||
|- | |||
|'''''k''''' (bits) | |||
|'''n_codes''' | |||
|'''base4''' | |||
| | |||
|'''base8''' | |||
| | |||
|'''base16''' | |||
| | |||
|'''base32''' | |||
| | |||
|- | |||
|1 | |||
|2 | |||
|0 | |||
|0% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|- | |||
|2 | |||
|6 | |||
|4 | |||
|67% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|- | |||
|3 | |||
|14 | |||
|4 | |||
|29% | |||
|8 | |||
|57% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|- | |||
|4 | |||
|30 | |||
|20 | |||
|67% | |||
|8 | |||
|27% | |||
|16 | |||
|53% | |||
|0 | |||
|0% | |||
|- | |||
|5 | |||
|62 | |||
|20 | |||
|32% | |||
|8 | |||
|13% | |||
|16 | |||
|26% | |||
|32 | |||
|52% | |||
|- | |||
|6 | |||
|126 | |||
|'''84''' | |||
|'''67%''' | |||
|72 | |||
|57% | |||
|16 | |||
|13% | |||
|32 | |||
|25% | |||
|- | |||
|7 | |||
|254 | |||
|'''84''' | |||
|'''33%''' | |||
|72 | |||
|28% | |||
|16 | |||
|6% | |||
|32 | |||
|13% | |||
|- | |||
|8 | |||
|510 | |||
|340 | |||
|67% | |||
|72 | |||
|14% | |||
|'''272''' | |||
|'''53%''' | |||
|32 | |||
|6% | |||
|- | |||
|9 | |||
|1022 | |||
|340 | |||
|33% | |||
|'''584''' | |||
|'''57%''' | |||
|'''272''' | |||
|'''27%''' | |||
|32 | |||
|3% | |||
|- | |||
|10 | |||
|2046 | |||
|1364 | |||
|67% | |||
|'''584''' | |||
|'''29%''' | |||
|'''272''' | |||
|'''13%''' | |||
|'''1056''' | |||
|'''52%''' | |||
|- | |||
|11 | |||
|4094 | |||
|1364 | |||
|33% | |||
|'''584''' | |||
|'''14%''' | |||
|'''272''' | |||
|'''7%''' | |||
|'''1056''' | |||
|'''26%''' | |||
|- | |||
|12 | |||
|8190 | |||
|5460 | |||
|67% | |||
|4680 | |||
|57% | |||
|4368 | |||
|53% | |||
|'''1056''' | |||
|'''13%''' | |||
|- | |||
|13 | |||
|16382 | |||
|5460 | |||
|33% | |||
|4680 | |||
|29% | |||
|4368 | |||
|27% | |||
|'''1056''' | |||
|'''6%''' | |||
|- | |||
|14 | |||
|32766 | |||
|21844 | |||
|67% | |||
|4680 | |||
|14% | |||
|4368 | |||
|13% | |||
|'''1056''' | |||
|'''3%''' | |||
|- | |||
|15 | |||
|65534 | |||
|21844 | |||
|33% | |||
|37448 | |||
|57% | |||
|4368 | |||
|7% | |||
|33824 | |||
|52% | |||
|- | |||
|16 | |||
|131070 | |||
|87380 | |||
|67% | |||
|37448 | |||
|29% | |||
|69904 | |||
|53% | |||
|33824 | |||
|26% | |||
|- | |||
| colspan="3" rowspan="1" |Average on '''stable cycle''': | |||
|50% | |||
| | |||
|33% | |||
| | |||
|25% | |||
| | |||
|20% | |||
|- | |||
| colspan="3" |Loss, 100% - occupancy: | |||
|50% | |||
| | |||
|67% | |||
| | |||
|75% | |||
| | |||
|80% | |||
|} | |||
Os valores percentuais foram calculados com relação a ''n_codes'', as médias finais de ''occupancy'' com relação aos ciclos. | |||
: | O comportamento da taxa de ocupação é cíclico e converge rapidamente, sendo destacado em negrito o primeiro ciclo estável de cada base. A média dentro do ciclo estável é a esperada pelo número de bits: em 2 bits (base 4) apenas os códigos de 1 bit deixam de ser representados, portanto 50%; em 3 bits (base 8) os códigos de 1 e 2 bits deixam de ser representados, portanto apenas 1/3 = 33% é representado; em 4 bits apenas 1/4=25% e em 5 bits apenas 1/5=20%. | ||
Conclusão: nas bases de aplicação mais frequente (as bases 8 e 16), entre 67% e 75% dos códigos naturais deixam de ser representados. É uma perda muito grande, vale a penas investir numa solução. | |||
=== Problemas típicos com taxonomias === | |||
... indexação e recuperação da hierarquia num banco de dados relacional ... | |||
== Inovações tecnológicas == | |||
... | |||
=== Na representação interna === | |||
: Ver [[Código natural/Representação interna]]. | |||
.... | |||
: | === Na representação textual === | ||
[[Arquivo:Zcutve-base4.png.png|miniaturadaimagem|A sequência de 16 [[Generalized Geohash/pt#Representação geométrica|células]] pode ser rotulada pela '''base 4h'''. Esses rótulos podem ser empregados como geocódigos.<br/>Ao contrário da base 4 numérica, que remove zeros a esquerda, a base 4h os mantém, por representar códigos e não números.]] | |||
[[Arquivo:Zcurve-8cells base4h.png.png|miniaturadaimagem|Oito células rotuladas hierarquicamente pela '''base4h'''. Reparar que os prefixos da ilustração anterior são preservados. Por ex. na anterior <code>00</code> e <code>03</code> possuem mesmo prefixo <code>0</code> que <code>0G</code> e <code>0Q</code>. Todas ocupam geometricamente o mesmo "quadrante <code>0</code>" da célula-mãe.]] | |||
[[ | A demanda por [[geocódigos]] eficientes motivou uma inovação tecnológica, desenvolvida pela [[AddressForAll]]. Do ponto de vista matemático é uma generalização da [[wikipedia:Positional notation|representação posicional]], aplicada a códigos naturais. Assim como os números (binários base 2, decimais base 10, hexadecimais base 16, etc.), os códigos podem ser representados nos meios de comunicação de forma mais compacta que cadeias de bits, através de diferentes ''bases''. | ||
[[ | |||
A [[wikipedia:Quaternary numeral system|'''base 4''']] (ou "sistema de numeração quaternário") é | A [[wikipedia:Quaternary numeral system|'''base 4''']] (ou "sistema de numeração quaternário") é simples e já representa números de maneira mais compacta que a notação binária. Usa somente os dígitos 0 a 3. A sequência numérica de 0 a 6 por exemplo, em notação binária [0,1,10,11,100,101,110]<sub>2</sub>, convertida para ''base 4'' se torna [0,1,2,3,10,11,12]<sub>4</sub>, economizando 5 dígitos. | ||
Abaixo é ilustrado o uso clássico da base 4 em códigos: tradição de adaptação da base numérica, permitindo zeros a esquerda ao representar códigos. Mostra como a adaptação falha para certos códigos, e como a inovação da [[base4h|'''base 4h''']] resolve o problema: | |||
* permite representar cadeias de bits (''bit strings'') de qualquer tamanho; | |||
* permite agrupar hierarquicamente. | |||
[[Arquivo:KraEtAll2019-fig02-quest.png]] | [[Arquivo:KraEtAll2019-fig02-quest.png]] | ||
[[Arquivo:KraEtAll2019-fig03-awns.png]] | [[Arquivo:KraEtAll2019-fig03-awns.png]] | ||
Inspiradas nesta inovação para a base 4, foram criadas também a [[base8h|base 8h]] e a [[base16h|base 16h]]. | |||
As questões de ordenação são resolvidas por algoritmos de comparação aplicados à representação interna do código, em geral a binária. A ordem lexicográfica dos bits é a mesma que a chamada "preorder" de uma árvore binária. A "level order" pode ser útil para certas situações, mas não é considerada a ordem nativa dos códigos naturais. | As questões de ordenação são resolvidas por algoritmos de comparação aplicados à representação interna do código, em geral a binária. A ordem lexicográfica dos bits é a mesma que a chamada "preorder" de uma árvore binária. A "level order" pode ser útil para certas situações, mas não é considerada a ordem nativa dos códigos naturais. | ||
Linha 82: | Linha 397: | ||
[[Arquivo:KraEtAll2019-fig05-orders.png|480px|center]] | [[Arquivo:KraEtAll2019-fig05-orders.png|480px|center]] | ||
A ordem é indiferente ao conjunto, podem haver saltos na sequência. Por ex. ao ordenar lexicograficamente o conjunto de códigos binários {<code>10</code>, <code>0</code>, <code>1</code>, <code>001</code>} obtemos a série [<code>0</code>, <code>001</code>, <code>1</code>, <code>10</code>]<sub>2h</sub>. | |||
Portanto, dentro de um conjunto com tamanho fixo de ''k'' bits, ''P''<sub>k</sub> (onde todos os elementos estão no nível ''k'' da hierarquia), a ''preorder'' e a ''level order'' resultam em ordenações equivalentes. A ordenação é realizada através de um [https://math.stackexchange.com/a/3145814/70274 algoritmo de comparação de pares de códigos], que pode tirar vantagem dessa equivalência para ser mais rápido. | |||
== Listagens ilustrativas == | |||
: <small>Resumodo de [[Código natural/Listagens com representações]]</small> | |||
< | Nas tabelas abaixo são apresentadas amostragens das '''''bitstrings'' ordenadas''' de ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub> e ''X''<sub>8</sub>. A coluna ''count'' é um contador de linhas para o humano acompanhar em representação decimal a sequência, as colunas ''b4h'' e ''b15h'' são as representações em base4h e base16h respectivamente. | ||
A coluna ''hbit'' é a representação "hidden bit", onde a inclusão à esquerda do dígito 1 na ''bitstring'' resulta em um valor decimal maior. Por exemplo as ''bitstrings'' <code>0</code>, <code>1</code> e <code>00</code> com o 1 na frente serão <code>10</code>, <code>11</code> e <code>100</code>, que em decimal serão 2, 3 e 4. | |||
:''X''<sub>1</sub>: códigos naturais com no máximo 1 bit, | |||
--> | :{| class="wikitable" | ||
!count !!bitstring !! hbit !! b4h !! b16h | |||
|- | |||
|0 || <code></code> || 1 || || | |||
|- | |||
|1 || <code>0</code> || 2 || G || G | |||
|- | |||
|2 || <code>1</code> || 3 || Q || Q | |||
|} | |||
= | :''X''<sub>2</sub>: códigos naturais com no máximo 2 bits, | ||
:{| class="wikitable" | |||
!count !!bitstring !! hbit !! b4h !! b16h | |||
|- | |||
|0 || <code></code> || 1 || || | |||
|- | |||
|1 || <code>0</code> || 2 || G || G | |||
|- | |||
|2 || <code>00</code> || 4 || 0 || H | |||
|- | |||
|3 || <code>01</code> || 5 || 1 || M | |||
|- | |||
|4 || <code>1</code> || 3 || Q || Q | |||
|- | |||
|5 || <code>10</code> || 6 || 2 || R | |||
|- | |||
|6 || <code>11</code> || 7 || 3 || V | |||
|} | |||
:... | |||
:''X''<sub>8</sub>: códigos naturais com no máximo 8 bits, | |||
:{| class="wikitable" | |||
: | |||
{| class="wikitable" | |||
|- | |- | ||
!count !!bitstring !! hbit !! b4h !! b16h | !count !!bitstring !! hbit !! b4h !! b16h | ||
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|- | |- | ||
|30 || <code>00001100</code> || 268 || 0030 || 0c | |30 || <code>00001100</code> || 268 || 0030 || 0c | ||
|- | |- | ||
|... || ... || ... || ... || ... | |... || ... || ... || ... || ... | ||
|- | |- | ||
|509 || <code>11111110</code> || 510 || 3332 || fe | |509 || <code>11111110</code> || 510 || 3332 || fe | ||
Linha 269: | Linha 513: | ||
|510 || <code>11111111</code> || 511 || 3333 || ff | |510 || <code>11111111</code> || 511 || 3333 || ff | ||
|} | |} | ||
:<small>Nota. A coluna ''count'' faz a contagem de ''bitstrings'' ordenadas, mas não começa com o valor 1. Para a ''biststring'' vazia adotamos a noção de "zerézima linha", para compatibilizar com a coluna ''hbit'' (o próprio marcador tem valor 1). A rigor a noção de "zerézimo" é também adotada pela [[wikipedia:Ordinal number#Von_Neumann_definition_of_ordinals|numeração ordinal]] em Matemática. Reparar que o acréscimo da linha zero garante também a compatibilização entre a quantidade de linhas e o valor final de ''hbit''.</small> | |||
== Demais fundamentos == | == Demais fundamentos == | ||
=== Hierarquia como coleção de conjuntos aninhados === | === Hierarquia como coleção de conjuntos aninhados === | ||
Um ''conjunto aninhado'' é um conjunto contendo uma cadeia de subconjuntos, formando uma estrutura hierárquica. Na Teoria dos Conjuntos, está relacionado à [[wikipedia:Partially_ordered_set|ordem parcial]], e os conjuntos aninhados são usados como referência para quaisquer definições de hierarquia ou herança de classe. | |||
Seja ''B'' um conjunto não vazio e '''''C''''' uma coleção de subconjuntos de ''B'', com <math>B \in C</math>. Então '''''C''''' é uma [[wikipedia:Nested_set#Formal_definition|coleção de conjuntos aninhados]] se: | |||
<br/> <math>\begin{align} | |||
\forall H, Q \in \mathbf{C}: H \cap \mathbf{C} \ne \empty \implies H \sub Q \lor Q \sub H | |||
\end{align}</math><br/> | |||
Então podemos supor que a coleção '''''C''''' que representa a hierarquia dos k-Códigos Naturais é definida por<br/> | |||
<math> | |||
C_k = \{X_1, X_2, \dots, X_k\} | |||
= \{ P_1, ~P_1 \cup P_2 , ~\dots, ~P_1 \cup P_2 \cup \dots \cup P_k\} | |||
</math> | |||
<br/>onde as operações da união estão demonstrando que a segunda condição é satisfeita. | |||
=== | Então sempre é verdade que<br/> <math>X_1 \sub X_2 \sub X_3 \sub \dots \sub X_k</math> | ||
... | <br/>ou, generalizando, que ''i''<''a'' implica ''X''<sub>i</sub>⊂''X''<sub>a</sub>. A coleção ''C''<sub>k</sub> é uma ordem parcial para “⊂”, portanto, uma [[wikipedia:Inclusion order|ordem estrita de inclusão]]. | ||
Outro aspecto do conceito de hierarquia está na hierarquia dos elementos de ''X''<sub>i</sub>. Comentada anteriormente, pode ser expressa pelas relações sintáticas entre os prefixos dos elementos de um conjunto ''X''<sub>i</sub> e do seu conjunto-origem ''X''<sub>i-1</sub>. Cada elemento ''x'' de ''X''<sub>i</sub> com mais de um bit, | |||
* a representação da cadeia de bits é uma concatenação de um prefixo ''p'' e um sufixo ''s'', ''x''=''p''⊕''s'', onde ''p'' ∈ ''X''<sub>i-1</sub>. | |||
* na representação por par <math>x=(l,n)</math> o prefixo ''p'' de ''x'' é dado por <math>p=(l-1, \lfloor n / 2 \rfloor) \in X_{i-1}</math>. | |||
Ambas representações garantem que, sintaticamente, os elementos ''p'' de ''X''<sub>i-1</sub> são "pais" dos elementos ''x'' de ''X''<sub>i</sub>. Ao passo que as relações gerais de inclusão garantem que ''X''<sub>i-1</sub>⊂''X''<sub>i</sub> (o conjunto dos elementos-pais está contido no conjunto dos elementos-filhos). | |||
[[Arquivo:NatCodes-hierarchy2.png|centro|semmoldura|420x420px]] | |||
São facetas da mesma hierarquia em árvore, embutida na estrutura dos conjuntos e na sintaxe dos seus elementos. | |||
=== Bases 2h, 4h, 8h e 16h === | |||
::<small>Resumo de [[Código natural/Base h]].</small> | |||
... resumo... | |||
=== | === Reproduzindo a preorder dentro de um número inteiro === | ||
... | A ordem lexigrográfica dos formadas por zeros e uns, que resulta na chamada *preorder* das árvores binárias, | ||
.. conceito de distância conforme https://math.stackexchange.com/q/3142409/70274 | |||
=== Ordenações lexicográfica e numérica === | === Ordenações lexicográfica e numérica === | ||
Para simplificar as convenções da base-h, reutilizamos os alfabetos: | |||
<br/> ''alphabet''(base4h) ⊂ ''alphabet''(base8h) ⊂ ''alphabet''(base16h). | |||
Outra decisão importante, para manter as representações numéricas como um subconjuntos das representações de códigos base-h: | |||
<br/> ''rep''(base4) ⊂ ''rep''(base4h); ''rep''(base8) ⊂ ''rep''(base8h); ''rep''(base16) ⊂ ''rep''(base16h). | |||
[[arquivo:KraEtAll2019-fig11-ordBases.png|thumb|300px|O alfabeto da base 16h, para representar os primeiros 30 códigos naturais.]] | |||
Pagamos um preço alto pela última decisão quando estamos ordenando uma lista de Códigos Naturais: "ordem numérica base16" e "ordem bitstring base16h" são intercaladas. O objetivo é a ordem lexicográfica da cadeia de bits, conforme tabela ao lado, onde as células coloridas mostram o problema de intercalação. | |||
O melhor que podemos fazer, para o leitor humano, é preservar a ordem no conjunto de dígitos hexadecimais e a ordem no conjunto ''nhDigits''. A ordem completa (união de conjuntos) deve utilizar, por exemplo, uma tradução no último dígito do código. | |||
Em um banco de dados SQL, assumindo uma coluna ''x'' de códigos naturais em base16h. O “ORDER BY x” falhará. Necessita de uma tradução de caracteres, aqui expressa em PostgreSQL: | |||
<syntaxhighlight lang="sql"> | |||
SELECT x FROM t ORDER BY traduzir( | |||
x, | |||
'GHJ01K23MN45R67QRS89TabVZcdYef', | |||
'0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRST' | |||
) -- ou apenas a tradução do último dígito | |||
</syntaxhighlight> | |||
Para ser amigável, evitando traduções, os códigos base-h devem ser representados por texto com collation especial. Supondo que a base-h seja um padrão, é natural propor um agrupamento para ela. Imagine definir uma coluna como representação base16h: | |||
<syntaxhighlight lang="sql"> CREATE TABLE t (x text COLLATE "num_b16h");</syntaxhighlight> | |||
== Algoritmos == | == Algoritmos == | ||
Ver https://git.osm.codes/NaturalCodes | Ver https://git.osm.codes/NaturalCodes | ||
== Ver também == | |||
* [[Código natural/Identificação taxonômica]] | |||
* [[Código natural/Notação posicional]] | |||
* [[Código natural/Requisitos e motivações]] | |||
* [[Código natural/Representação interna]] | |||
[[Categoria:Conceitos]] | [[Categoria:Conceitos]] | ||
[[Categoria:Código natural]] |
Edição atual tal como às 18h16min de 6 de janeiro de 2024
O conjunto dos Códigos Naturais foi definido em analogia ao conjunto dos números naturais (ℕ). O conjunto dos Códigos Naturais é munido de regras e operações, tais como ordenação, regras de notação posicional e regras de estruturação hierárquica. Cada um de seus elementos pode ser designado código natural e expresso através de uma cadeia de bits.
Números naturais também podem ser mapeados em cadeias de bits, mas esse mapeamento não abrange todas as cadeias possíveis. O código natural 0010
por exemplo é distinto do código 10
, de modo que existem mais códigos naturais do que números naturais: o conjunto ℕ mapeado em cadeias de bits forma um subconjunto dos códigos naturais.
- Formalização e licença: em [KraEtAll2019], registrado como CC0.
- Implementação das operações em git.osm.codes/NaturalCodes.
- Aplicações: geocódigos, indexadores, identificadores hierárquicos (de classes estáveis), rotuladores, hashes etc. Existe uma infinidade de aplicações onde as cadeias de bits são mais convenientemente interpretadas como códigos naturais, do que como números naturais.
Resumo didático
Um código qualquer é representado internamente, no computador, por uma cadeia de bits; que por sua vez é meramente uma sequência de símbolos dentro do computador (tipicamente zeros e uns). O conceito de código é mais abrangente e não deve ser confundido com o conceito de número: aplicamos apenas aos números a regra de "eliminar zeros à esquerda". Se digo que 007 é um número usual, então será o mesmo que 7; mas se digo que é um código, devo considerar 007
e 7
como entidades distintas.
A cadeia de bit é um tipo de dado primitivo, bem simples, possui poucas operações e poucos métodos de conversão. Podemos conceber um tipo de dado derivado um pouco mais sofisticado, com operações adicionais, tais como soma e sucessão, e com métodos de conversão, tais como conversão para notação posicional.
Números, por exemplo, são tipos primitivos bem mais sofisticados, com muito mais recursos computacionais e interoperabilidade com outros tipos de dados. O conjunto dos números naturais ( ) é munido das operações de soma, multiplicação e de regras de notação posicional (decimal, binária, hexadecimal, etc.). Similarmente, o conjunto dos Códigos Naturais foi definido em [KraEtAll2019] através da formalização das operações de ordenação, soma, subtração, regras de notação posicional e regras de estruturação hierárquica.
Histórico
O Instituto AddressForAll propôs em 2019 uma nova notação para os códigos naturais, similar à notação hexadecimal, garantindo que a hierarquia entre códigos seja preservada, tal como na cadeia de bits; batizando-a mais tarde de base16h.
O documento [KraEtAll2019] foi registrado na Fundação Biblioteca Nacional sob o protocolo número 2801/19
, garantindo que nenhuma patente ou direito autoral possam ser reclamados quanto à notação criada (base4h, base8h e base16h).
Apresentação formal
Na ilustração ressaltamos a equivalência entre a árvore binária completa e o Conjunto de Cantor.
Sintaticamente, códigos e números podem usar os mesmos símbolos como dígitos, e, por existirem mais possibilidades de combinar símbolos na forma de códigos do que na forma de números, podemos afirmar que o conjunto dos símbolos que representam elementos de é subconjunto dos códigos naturais. Para tirar proveito dessa relação sintática, denominaremos o conjunto dos números naturais (de k bits) convertidos para cadeias de bits de tamanho fixo k.
O conjunto dos códigos naturais, , pode ser induzido do conjunto , relativo a cadeias de no máximo k bits, gerado pela seguinte recorrência:
onde e nos demais os elementos são representações binárias de tamanho fixo k dos valores até . Por exemplo, para k=0 até k=8 temos os seguintes conjuntos :
Por indução podemos supor também o "conjunto dos números naturais de 0 bits", que corresponde ao conjunto vazio, . Sintaticamente, a cadeia de bits vazia, necessária em diversas situações.
O número total de elementos em Xk, ou seja, , pode ser inferido por . Usando a recorrência temos , que contém a conhecida série das potências de 2 sem o último termo de 20, , resultando em .
Definição alternativa
O conjunto dos códigos naturais pode ser também expresso exclusivamente através de números naturais. Podemos usar os pares numéricos tamanho-valor, com o tamanho l variando de zero a k bits, e valores n variando de zero ao máximo permitido pelos k bits:
Os pares descrevem com exatidão e podem ser traduzidos para cadeias de bits (bitStrings). Ilustrando o uso dos pares (l,n), também designados "size-value pairs", em notação decimal:
BitString (size,value) BitString (size,value) 0
(1,0) 000000
(6,0) 111
(3,7) 00000101
(8,5)
Problemas típicos com códigos
Números binários são representações válidas da notação posicional base2, e podem ser representados de forma mais compacta (mais amigável para o ser humano) através de bases maiores, tais como base8 (sistema octal) ou base10 (sistema decimal). Códigos, todavia, não possuem um sistema posicional adequado, não existe um padrão para se representar todos os códigos naturais, nem sequer na base4.
Outro problema é a ordem: códigos naturais, para exibirem a ordem hierárquica, precisam ser ordenados lexicograficamente (ao invés de numericamente). Em por exemplo iniciamos pelo 0, depois 00, depois 01, depois 1, etc.
A noção de código natural nos ajuda estudar esses problemas, e valorizar as eventuais soluções. A tabela abaixo, listando códigos em sua ordem natural (lexicográfica da expressão bitString), ilustra problemas da Base4 e a solução Base4h, bem como a solução hbit.
(size,value) BitString Base4 Base4h hbitBitstring hbit (1,0) 0
? G 10
2 (2,0) 00
0 0 100
4 (3,0) 000
? 0G 1000
8 (4,0) 0000
00 00 10000
16 (5,0) 00000
? 00G 100000
32 (6,0) 000000
000 000 1000000
64 (7,0) 0000000
? 000G 10000000
128 (8,0) 00000000
0000 0000 100000000
256 (8,1) 00000001
0001 0001 100000001
257 (7,1) 0000001
? 000Q 10000001
129 (8,2) 00000010
0002 0002 100000010
258 (8,3) 00000011
0003 0003 100000011
259 (6,1) 000001
001 001 1000001
65 (7,2) 0000010
? 001G 10000010
130 (8,4) 00000100
0010 0010 100000100
260 (8,5) 00000101
0011 0011 100000101
261 ... ... ... ... ... ...
A coluna "hbitBitstring" é relativa à representação das bitStrings em formato "hidden bit", definido em [KraEtAll2019]. Consiste em acrescentar o 1
na frente da bitString, para que não lhe cortem os zeros à esquerda, ao interpretá-la como número inteiro positivo (em formato decimal na coluna hbit).
A coluna "Base4" é a tentativa (frustrada) de representar as bitStrings com o algoritmo da notação posicional numérica da Base 4. A coluna "Base4h" é a inovação proposta em [KraEtAll2019], que adaptou o algoritmo para expressar códigos ao invés de números, permitindo zeros a esquerda e quantidade variável de dígitos.
- Nota. Conjuntos finitos de códigos naturais sempre podem ser expressos como conjuntos de hbits, portanto através de números naturais. O conjunto de todos os Códigos Naturais todavia é infinito, e neste caso particular (com infinitos elementos), a representação hbit não é permitida pelo Teorema de Cantor. Portanto, matematicamente, size-value é um tradutor mais rigoroso para expressões em .
Tamanho do problema
Quantos códigos naturais de k bits deixam de ser representados na Base N?
Avaliando a seguir apenas bases com N em {4, 8, 16, 32} da RFC 4648 das aplicações da Internet e (base 4) das aplicações em geocódigos. São todas na forma , com n variando de 2 (4=22) a 5 (32=25). O valor de n fornece também o número de bits por dígito da base, por exemplo base N=8 temos n=3, portanto cada dígito da base 8 tem 3 bits.
Na tabela abaixo foram avaliadas experimentalmente as taxas de ocupação para diversos valores de k, resultando em uma quantidade de códigos, , e nas quantidades de representações válidas a cada base.
Base and occupancy rate of n_codes | |||||||||
k (bits) | n_codes | base4 | base8 | base16 | base32 | ||||
1 | 2 | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% |
2 | 6 | 4 | 67% | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% |
3 | 14 | 4 | 29% | 8 | 57% | 0 | 0% | 0 | 0% |
4 | 30 | 20 | 67% | 8 | 27% | 16 | 53% | 0 | 0% |
5 | 62 | 20 | 32% | 8 | 13% | 16 | 26% | 32 | 52% |
6 | 126 | 84 | 67% | 72 | 57% | 16 | 13% | 32 | 25% |
7 | 254 | 84 | 33% | 72 | 28% | 16 | 6% | 32 | 13% |
8 | 510 | 340 | 67% | 72 | 14% | 272 | 53% | 32 | 6% |
9 | 1022 | 340 | 33% | 584 | 57% | 272 | 27% | 32 | 3% |
10 | 2046 | 1364 | 67% | 584 | 29% | 272 | 13% | 1056 | 52% |
11 | 4094 | 1364 | 33% | 584 | 14% | 272 | 7% | 1056 | 26% |
12 | 8190 | 5460 | 67% | 4680 | 57% | 4368 | 53% | 1056 | 13% |
13 | 16382 | 5460 | 33% | 4680 | 29% | 4368 | 27% | 1056 | 6% |
14 | 32766 | 21844 | 67% | 4680 | 14% | 4368 | 13% | 1056 | 3% |
15 | 65534 | 21844 | 33% | 37448 | 57% | 4368 | 7% | 33824 | 52% |
16 | 131070 | 87380 | 67% | 37448 | 29% | 69904 | 53% | 33824 | 26% |
Average on stable cycle: | 50% | 33% | 25% | 20% | |||||
Loss, 100% - occupancy: | 50% | 67% | 75% | 80% |
Os valores percentuais foram calculados com relação a n_codes, as médias finais de occupancy com relação aos ciclos.
O comportamento da taxa de ocupação é cíclico e converge rapidamente, sendo destacado em negrito o primeiro ciclo estável de cada base. A média dentro do ciclo estável é a esperada pelo número de bits: em 2 bits (base 4) apenas os códigos de 1 bit deixam de ser representados, portanto 50%; em 3 bits (base 8) os códigos de 1 e 2 bits deixam de ser representados, portanto apenas 1/3 = 33% é representado; em 4 bits apenas 1/4=25% e em 5 bits apenas 1/5=20%.
Conclusão: nas bases de aplicação mais frequente (as bases 8 e 16), entre 67% e 75% dos códigos naturais deixam de ser representados. É uma perda muito grande, vale a penas investir numa solução.
Problemas típicos com taxonomias
... indexação e recuperação da hierarquia num banco de dados relacional ...
Inovações tecnológicas
...
Na representação interna
....
Na representação textual
Ao contrário da base 4 numérica, que remove zeros a esquerda, a base 4h os mantém, por representar códigos e não números.
A demanda por geocódigos eficientes motivou uma inovação tecnológica, desenvolvida pela AddressForAll. Do ponto de vista matemático é uma generalização da representação posicional, aplicada a códigos naturais. Assim como os números (binários base 2, decimais base 10, hexadecimais base 16, etc.), os códigos podem ser representados nos meios de comunicação de forma mais compacta que cadeias de bits, através de diferentes bases.
A base 4 (ou "sistema de numeração quaternário") é simples e já representa números de maneira mais compacta que a notação binária. Usa somente os dígitos 0 a 3. A sequência numérica de 0 a 6 por exemplo, em notação binária [0,1,10,11,100,101,110]2, convertida para base 4 se torna [0,1,2,3,10,11,12]4, economizando 5 dígitos.
Abaixo é ilustrado o uso clássico da base 4 em códigos: tradição de adaptação da base numérica, permitindo zeros a esquerda ao representar códigos. Mostra como a adaptação falha para certos códigos, e como a inovação da base 4h resolve o problema:
- permite representar cadeias de bits (bit strings) de qualquer tamanho;
- permite agrupar hierarquicamente.
Inspiradas nesta inovação para a base 4, foram criadas também a base 8h e a base 16h.
As questões de ordenação são resolvidas por algoritmos de comparação aplicados à representação interna do código, em geral a binária. A ordem lexicográfica dos bits é a mesma que a chamada "preorder" de uma árvore binária. A "level order" pode ser útil para certas situações, mas não é considerada a ordem nativa dos códigos naturais.
A ordem é indiferente ao conjunto, podem haver saltos na sequência. Por ex. ao ordenar lexicograficamente o conjunto de códigos binários {10
, 0
, 1
, 001
} obtemos a série [0
, 001
, 1
, 10
]2h.
Portanto, dentro de um conjunto com tamanho fixo de k bits, Pk (onde todos os elementos estão no nível k da hierarquia), a preorder e a level order resultam em ordenações equivalentes. A ordenação é realizada através de um algoritmo de comparação de pares de códigos, que pode tirar vantagem dessa equivalência para ser mais rápido.
Listagens ilustrativas
- Resumodo de Código natural/Listagens com representações
Nas tabelas abaixo são apresentadas amostragens das bitstrings ordenadas de X1, X2 e X8. A coluna count é um contador de linhas para o humano acompanhar em representação decimal a sequência, as colunas b4h e b15h são as representações em base4h e base16h respectivamente.
A coluna hbit é a representação "hidden bit", onde a inclusão à esquerda do dígito 1 na bitstring resulta em um valor decimal maior. Por exemplo as bitstrings 0
, 1
e 00
com o 1 na frente serão 10
, 11
e 100
, que em decimal serão 2, 3 e 4.
- X1: códigos naturais com no máximo 1 bit,
count bitstring hbit b4h b16h 0 1 1 0
2 G G 2 1
3 Q Q
- X2: códigos naturais com no máximo 2 bits,
count bitstring hbit b4h b16h 0 1 1 0
2 G G 2 00
4 0 H 3 01
5 1 M 4 1
3 Q Q 5 10
6 2 R 6 11
7 3 V
- ...
- X8: códigos naturais com no máximo 8 bits,
count bitstring hbit b4h b16h 0 1 1 0
2 G G 2 00
4 0 H 3 000
8 0G J 4 0000
16 00 0 5 00000
32 00G 0G 6 000000
64 000 0H 7 0000000
128 000G 0J 8 00000000
256 0000 00 9 00000001
257 0001 01 10 0000001
129 000Q 0K 11 00000010
258 0002 02 12 00000011
259 0003 03 13 000001
65 001 0M 14 0000010
130 001G 0N 15 00000100
260 0010 04 16 00000101
261 0011 05 17 0000011
131 001Q 0P 18 00000110
262 0012 06 19 00000111
263 0013 07 20 00001
33 00Q 0Q 21 000010
66 002 0R 22 0000100
132 002G 0S 23 00001000
264 0020 08 24 00001001
265 0021 09 25 0000101
133 002Q 0T 26 00001010
266 0022 0a 27 00001011
267 0023 0b 28 000011
67 003 0V 29 0000110
134 003G 0Z 30 00001100
268 0030 0c ... ... ... ... ... 509 11111110
510 3332 fe 510 11111111
511 3333 ff
- Nota. A coluna count faz a contagem de bitstrings ordenadas, mas não começa com o valor 1. Para a biststring vazia adotamos a noção de "zerézima linha", para compatibilizar com a coluna hbit (o próprio marcador tem valor 1). A rigor a noção de "zerézimo" é também adotada pela numeração ordinal em Matemática. Reparar que o acréscimo da linha zero garante também a compatibilização entre a quantidade de linhas e o valor final de hbit.
Demais fundamentos
Hierarquia como coleção de conjuntos aninhados
Um conjunto aninhado é um conjunto contendo uma cadeia de subconjuntos, formando uma estrutura hierárquica. Na Teoria dos Conjuntos, está relacionado à ordem parcial, e os conjuntos aninhados são usados como referência para quaisquer definições de hierarquia ou herança de classe.
Seja B um conjunto não vazio e C uma coleção de subconjuntos de B, com . Então C é uma coleção de conjuntos aninhados se:
Então podemos supor que a coleção C que representa a hierarquia dos k-Códigos Naturais é definida por
onde as operações da união estão demonstrando que a segunda condição é satisfeita.
Então sempre é verdade que
ou, generalizando, que i<a implica Xi⊂Xa. A coleção Ck é uma ordem parcial para “⊂”, portanto, uma ordem estrita de inclusão.
Outro aspecto do conceito de hierarquia está na hierarquia dos elementos de Xi. Comentada anteriormente, pode ser expressa pelas relações sintáticas entre os prefixos dos elementos de um conjunto Xi e do seu conjunto-origem Xi-1. Cada elemento x de Xi com mais de um bit,
- a representação da cadeia de bits é uma concatenação de um prefixo p e um sufixo s, x=p⊕s, onde p ∈ Xi-1.
- na representação por par o prefixo p de x é dado por .
Ambas representações garantem que, sintaticamente, os elementos p de Xi-1 são "pais" dos elementos x de Xi. Ao passo que as relações gerais de inclusão garantem que Xi-1⊂Xi (o conjunto dos elementos-pais está contido no conjunto dos elementos-filhos).
São facetas da mesma hierarquia em árvore, embutida na estrutura dos conjuntos e na sintaxe dos seus elementos.
Bases 2h, 4h, 8h e 16h
- Resumo de Código natural/Base h.
... resumo...
Reproduzindo a preorder dentro de um número inteiro
A ordem lexigrográfica dos formadas por zeros e uns, que resulta na chamada *preorder* das árvores binárias, .. conceito de distância conforme https://math.stackexchange.com/q/3142409/70274
Ordenações lexicográfica e numérica
Para simplificar as convenções da base-h, reutilizamos os alfabetos:
alphabet(base4h) ⊂ alphabet(base8h) ⊂ alphabet(base16h).
Outra decisão importante, para manter as representações numéricas como um subconjuntos das representações de códigos base-h:
rep(base4) ⊂ rep(base4h); rep(base8) ⊂ rep(base8h); rep(base16) ⊂ rep(base16h).
Pagamos um preço alto pela última decisão quando estamos ordenando uma lista de Códigos Naturais: "ordem numérica base16" e "ordem bitstring base16h" são intercaladas. O objetivo é a ordem lexicográfica da cadeia de bits, conforme tabela ao lado, onde as células coloridas mostram o problema de intercalação.
O melhor que podemos fazer, para o leitor humano, é preservar a ordem no conjunto de dígitos hexadecimais e a ordem no conjunto nhDigits. A ordem completa (união de conjuntos) deve utilizar, por exemplo, uma tradução no último dígito do código.
Em um banco de dados SQL, assumindo uma coluna x de códigos naturais em base16h. O “ORDER BY x” falhará. Necessita de uma tradução de caracteres, aqui expressa em PostgreSQL:
SELECT x FROM t ORDER BY traduzir(
x,
'GHJ01K23MN45R67QRS89TabVZcdYef',
'0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRST'
) -- ou apenas a tradução do último dígito
Para ser amigável, evitando traduções, os códigos base-h devem ser representados por texto com collation especial. Supondo que a base-h seja um padrão, é natural propor um agrupamento para ela. Imagine definir uma coluna como representação base16h:
CREATE TABLE t (x text COLLATE "num_b16h");