Cadeia de bits

Turing imaginava uma fita infinita de bits, para trabalhar a vontade nos primeiros computadores.

A noção de "cadeia de bits" (bit string) foi desenvolvida pela Lógica Matemática, principalmente no início dos anos 1900, e consagrada pelos trabalhos de Turing (1937) e Shannon (1948).

Ela difere de um número natural binário por permitir zeros à esquerda. Por exemplo o número natural binário 0001001 é equivalente a 1001, mas se dizemos que 0001001 é uma cadeia de bits, aí essa equivalência deixa de existir.

A rigor, portanto, a cadeia de bits não pode ser vista como número natural. Uma alternativa seria a interpretação como código natural, que não afeta a integridade da cadeia.

Notação

A cadeia de bits é intrinsecamente posicional, apesar de não ter uma semântica numérica associada. Por exemplo a cadeia 0101100 é considerada diferente de 0000111, justamente porque os zeros e uns ocupam posições diferentes em cada uma delas.

A título descritivo, para se referenciar bit a bit, convenciona-se que os bits da cadeia são indexados da direita para a esquerda, e iniciando pelo bit-zero.
PS: no PostgreSQL adota-se a convenção "da esquerda para a direita". A convenção aqui adotada é da notação posicional.

Não há necessidade de se associar a cadeia a um significado, a notação é meramente sintática, livre de semântica.

Tamanho

Toda cadeia de bits pode ter seu tamanho medido: é a quantidade de bits na cadeia. Uma cadeia de zero bits é uma cadeia vazia.

A função lenght(x) retorna a medida de tamanho da cadeia x. Exemplos: lenght(00)=2;  lenght(11)=2;  lenght(010101001)=9.

O tamanho permite classificar cadeias: toda cadeia de tamanho k é elemento da "classe k", ou seja, o conjunto infinito de todas as cadeias de tamanho k.

Números naturais e tamanho fixo

Nos computadores, tradicionalmente, os números inteiros positivos são representados com zeros a esquerda para completar o número de bits desejado.

O conjunto $C_{k}$ de todas as cadeias possíveis de tamanho k pode ser expresso como conjunto de todos os números naturais de zero a $2_{k}-1$, acrescentando-se zeros à esquerda quando seu tamanho for menor que k.

Há um claro isomorfismo entre as cadeias de $C_{k}$ e os números naturais de zero a $2_{k}-1$.

Erros e adulterações em cadeias

No computador, por tradição (ou culpa de softwares mal projetados), pode-se erroneamente forçar que uma cadeia de bits de tamanho fixo seja interpretada como um número. Com a promoção dos códigos naturais a cidadões de primera classe, esse erro pode ser evitado.

Referências

Formalizações históricas:

• A. M. Turing (1937), “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”. urn:doi:10.1112/plms/s2-42.1.230.

• C. E. Shannon (1948), “A Mathematical Theory of Communication”. urn:doi:10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x.

Uso prático:

• https://www.postgresql.org/docs/current/datatype-bit.html
• https://www.postgresql.org/docs/current/functions-bitstring.html